Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長(zhǎng)為1，高為h（h＞3），點(diǎn)M在側(cè)棱BB₁上移動(dòng)，并且M到底面ABC的距離為x，且AM與側(cè)面BCC₁B₁所成的角為α．
（1）若α在區(qū)間上變化，求x的變化范圍； 
（2）若α為，求AM與BC所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)BC的中點(diǎn)為D，連接AD、DM，根據(jù)題意BB₁⊥平面ABC，由線面垂直的判定與性質(zhì)證出AD⊥平面BB₁CC₁，從而得到∠AMD即為AM與側(cè)面BCC₁所成角．然后在Rt△ADM中，設(shè)BM長(zhǎng)為x，利用三角函數(shù)的定義建立tanα關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合α∈解關(guān)于x的不等式，即可得到點(diǎn)M到平面ABC的距離的取值范圍；
（2）由（1）的結(jié)論算出BM=．然后采用向量法：將化成+，求出•并利用夾角公式算出、夾角的余弦值，最后結(jié)合異面直線所成角的范圍即可求出AM與BC所成角的余弦值．
解答：解：（1）設(shè)BC的中點(diǎn)為D，連接AD、DM，則
∵△ABC為正三角形，D為AC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，
∵BB₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，∴AD⊥BB₁ 
∵BB₁、BC是平面BB₁C₁C內(nèi)的相交直線，∴AD⊥平面BB₁CC₁．
因此，∠AMD即為AM與側(cè)面BCC₁所成角α．
∵點(diǎn)M到平面ABC的距離為BM，設(shè)BM=x，x∈（0，h）．
在Rt△ADM中，tan∠AMD=．
由AD=，DM==，得tanα=．
∵α∈時(shí)，tanα∈[，1]
∴≤≤1，化簡(jiǎn)得3≤1+4x²≤9，解得≤x²≤2．
因此，點(diǎn)M到平面ABC的距離x的取值范圍是[，]；
（2）當(dāng)α=時(shí)，由（1）得BM=，
故可得DM=，AM==．
設(shè)與的夾角為θ．
∵•=（+）•=•+•=1×1×cos120°+0=-．
∴cos＜，＞===-
∵AM與BC所成角，
∴cosθ=，即AM與BC所成角的余弦值．
點(diǎn)評(píng)：本題在特殊三棱柱中求異面直線所成的角，著重考查了直棱柱的性質(zhì)、線面垂直的判定定理和異面直線所成角的定義及其求法等知識(shí)，屬于中檔題．