Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2，離心率 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若斜率為k的直線過(guò)點(diǎn)M（2，0），且與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．試求k為何值時(shí)，三角形OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓C： （a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2，離心率 ，

∴ ，

解得a2=2，b2=1，

∴橢圓方程為 =1

（2）解：由已知直線AB的斜率存在，設(shè)AB的方程為：y=k（x﹣2），

由 ，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，

∵斜率為k的直線過(guò)點(diǎn)M（2，0），且與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，

∴△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，

解得： ，即k∈（﹣ ， ），

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）， ， ，

∵O為直角頂點(diǎn)，∴ ，

∵y1y2=k（x1﹣2）k（x2﹣2），

∴ =0，解得k= ，滿足k2 ，∴k=

【解析】（1）由橢圓短軸長(zhǎng)為2，離心率 ，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓方程．（2）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直線AB的方程為y=k（x﹣2），代入橢圓 +y2=1中，得到關(guān)于x的一元二次方程，由判別式求出k的取值范圍，和用k表示的x1+x2 ， x1x2的表達(dá)式，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件列出關(guān)于k的方程，求解即可．