Question

如圖，在四面體P－ABC中，已知PA＝BC＝6，PC＝AB＝10，AC＝8，PB＝．F是線段PB上一點，CF＝，點E在線段AB上，且EF⊥PB．

(1)證明PB⊥平面CEF?

(2)求二面角B－CE－F的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵PA2＋AC2＝36＋64＝100＝PC2， 　　∴△PAC是以∠PAC為直角的直角三角形，同理可證△PAB是以∠PAB為直角的三角形，△PCB是以∠PCB為直角的三角形，故PA⊥平面ABC． 　　又∵S△PBC＝|PB||PC|＝×10×6＝30， 　　而|PB||CF|＝××＝30＝S△PBC． 　　故CF⊥PB．又已知EF⊥PB， 　　∴PB⊥平面CEF． 　　(2)由(1)知PB⊥CE，PA⊥平面ABC， 　　∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE． 　　在平面PAB內(nèi)，過F作FF1垂直AB且交AB于F1點，則FF1⊥平面ABC． 　　EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC， 　　故∠FEB是二面角B－CE－F的平面角． 　　tan∠FEB＝cot∠PBA＝． 　　∴所求二面角的正切值為．

提示：

利用線線垂直和線面垂直的轉(zhuǎn)化．