Question

已知點(diǎn)A（0，1），B，C是x軸上兩點(diǎn)，且|BC|=6（B在C的左側(cè)）．設(shè)△ABC的外接圓的圓心為M．
（Ⅰ）已知，試求直線AB的方程；
（Ⅱ）當(dāng)圓M與直線y=9相切時(shí)，求圓M的方程；
（Ⅲ）設(shè)|AB|=l₁，|AC|=l₂，，試求s的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出B，C的坐標(biāo)，利用，建立方程，求得B，C的坐標(biāo)，從而可得直線AB的方程；
（Ⅱ）設(shè)圓心為（a，b），半徑為r，利用圓M與直線y=9相切，建立方程組，從而可求圓M的方程；
（Ⅲ）設(shè)B（m-3，0），C（m+3，0），求出|AB|=l₁，|AC|=l₂，，利用換元法、配方法即可求得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)B（a，0），則C（a+6，0）．
∵A（0，1），∴，，
由得a（a+6）+1=-4，
解得：a=-1或-5，
所以，直線AB的方程為
（Ⅱ）設(shè)圓心為（a，b），半徑為r，則，解之得：a=±4，b=4，r=5，
所以，圓M的方程為（x±4）²+（y-4）²=25．
（Ⅲ）設(shè)B（m-3，0），C（m+3，0），則，
所以，
令m²+10=t（t≥10），則s==≤
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)t=20，即時(shí)取得．
∴當(dāng)時(shí)，s的最大值為
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查最值的求解，正確列出函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵．