Question

（2008•閘北區(qū)二模）如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（Ⅰ）求PC與平面PAD所成角的大小；
（Ⅱ）若E是PD的中點(diǎn)，求異面直線AE與PC所成角的大小；
（Ⅲ）在BC邊上是否存在一點(diǎn)G，使得D點(diǎn)到平面PAG的距離為

2

，若存在，求出BG的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得：CD⊥PA，CD⊥AD，所以CD⊥平面APD，可得PC與平面PAD所成角既為∠CPD，再利用解三角形的有關(guān)知識即可求出答案．
（Ⅱ）設(shè)CD中點(diǎn)為F，連接EF，則EF∥PC，可得AE與EF所成角即為所求，然后利用解三角形的有關(guān)知識得到答案．
（Ⅲ）假設(shè)BC邊上存在一點(diǎn)G滿足題設(shè)條件，作DQ⊥AG，則DQ⊥平面PAG，可得DQ=

2

，進(jìn)而得到BG=1，然后根據(jù)題意可得此點(diǎn)G符合題意．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
所以CD⊥PA，
又因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，
所以CD⊥AD，
所以由線面垂直的判定定理可得：CD⊥平面APD，
所以PC與平面PAD所成角既為∠CPD，…．（2分）
又由題意可得：PD=

5

，CD=1
所以∠CPD=arctan

5

5

…．（2分）
（Ⅱ）設(shè)CD中點(diǎn)為F，連接EF，則EF∥PC
所以AE與EF所成角即為所求…．（1分）
又AE=

5

2

，EF=

1

2

PC=

6

2

，AF=

17

2

，
∴cos∠AEF=

AE2+EF2-AF2

2AE•EF

=-

30

10

…（3分）
∴異面直線AE與PC所成角的大小為arccos

30

10

…．（1分）
（Ⅲ）假設(shè)BC邊上存在一點(diǎn)G滿足題設(shè)條件，作DQ⊥AG，則DQ⊥平面PAG，
所以DQ=

2

…．（3分）
∴BG=1＜2，…．（1分）
故存在點(diǎn)G，當(dāng)BG=1時(shí)，使點(diǎn)D到平面PAG的距離為1…．（1分）

點(diǎn)評：本題考查線面垂直的判定定理與空間中的線線角與線面角的有關(guān)知識，而空間角解決的關(guān)鍵是做角，由圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確作出平面角來，是求角的關(guān)鍵，也可以根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的有關(guān)知識解決空間角等問題．