Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是項(xiàng)數(shù)為20的等差數(shù)列，公差d∈N+，且關(guān)于x的方程x²+2dx-4=0的兩個(gè)實(shí)根x₁、x₂滿足x₁＜1＜x₂，則數(shù)列{a_n}的偶數(shù)項(xiàng)之和減去奇數(shù)項(xiàng)之和的結(jié)果為（ ）
A．15
B．10
C．5
D．-20

Answer 1

【答案】分析：把已知的方程左邊設(shè)為一個(gè)二次函數(shù)，因?yàn)閤₁＜1＜x₂，得到函數(shù)圖象與x軸的兩交點(diǎn)在1的兩側(cè)，又根據(jù)拋物線開口向上，得到f（1）小于0，列出關(guān)于d的不等式，求出不等式的解集，因?yàn)閐屬于正整數(shù)，即可得到不等式的正整數(shù)解得到d的值，然后根據(jù)等差數(shù)列的定義可知a_2n-a_2n-1=d，把偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)之差列舉出來(lái)，把20項(xiàng)和19項(xiàng)之差結(jié)合，18項(xiàng)與17項(xiàng)之差結(jié)合，…，2項(xiàng)和1項(xiàng)之差結(jié)合，得到所有的偶數(shù)項(xiàng)減去所有的奇數(shù)項(xiàng)等于10d，把d的值代入即可求出值．
解答：解：設(shè)f（x）=x²+2dx-4，由x₁＜1＜x₂得到：
函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別在1的兩側(cè)，注意此函數(shù)中的a＞0，拋物線開口向上，
則有f（1）＜0，即1+2d-4＜0，解得：d＜，因?yàn)閐∈N+，所以d=1，
又因?yàn)閍_2n-a_2n-1=d，
所以（a₂₀+a₁₈+a₁₆+…+a₂）-（a₁₉+a₁₇+a₁₅+…+a₁）=（a₂₀-a₁₉）+（a₁₈-a₁₇）+…+（a₂-a₁）
=10d=10．
故選B
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用函數(shù)的思想解決實(shí)際問題，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式，是一道中檔題．