Question

【題目】【2015高考湖北（理）20】某廠用鮮牛奶在某臺(tái)設(shè)備上生產(chǎn)兩種奶制品．生產(chǎn)1噸產(chǎn)品需鮮牛奶2噸，使用設(shè)備1小時(shí)，獲利1000元；生產(chǎn)1噸產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸，使用設(shè)備1.5小時(shí)，獲利1200元．要求每天產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過(guò)產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍，設(shè)備每天生產(chǎn)兩種產(chǎn)品時(shí)間之和不超過(guò)12小時(shí). 假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W（單位：噸）是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列為

W	12	15	18
P	0.3	0.5	0.2

該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利（單位：元）是一個(gè)隨機(jī)變量．

（Ⅰ）求的分布列和均值；

（Ⅱ） 若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨(dú)立，求3天中至少有1天的最大獲利超過(guò)10000元的概率．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的分布列為：

	8160	10200	10800
	0.3	0.5	0.2

；（Ⅱ）0.973.

【解析】（Ⅰ）設(shè)每天兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為，相應(yīng)的獲利為，

則有 （1）

目標(biāo)函數(shù)為 ．

當(dāng)時(shí)，（1）表示的平面區(qū)域如圖1，三個(gè)頂點(diǎn)分別為．

將變形為，

當(dāng)時(shí)，直線：在軸上的截距最大，

最大獲利．

當(dāng)時(shí)，（1）表示的平面區(qū)域如圖2，三個(gè)頂點(diǎn)分別為．

將變形為，

當(dāng)時(shí)，直線：在軸上的截距最大，

最大獲利．

當(dāng)時(shí)，（1）表示的平面區(qū)域如圖3，

四個(gè)頂點(diǎn)分別為.

將變形為，

當(dāng)時(shí)，直線：在軸上的截距最大，

最大獲利．

故最大獲利的分布列為

	8160	10200	10800
	0.3	0.5	0.2

因此，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大獲利超過(guò)10000元的概率，

由二項(xiàng)分布，3天中至少有1天最大獲利超過(guò)10000元的概率為