Question

如果在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，對(duì)任何正整數(shù)n，等式na_n+1=（n+2）a_n都成立，那么

lim

n→∞

an

n2

的值等于

 

．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件知，需要先求出通項(xiàng)a_n，由對(duì)任何正整數(shù)n，等式na_n+1=（n+2）a_n都成立知，可用累乘法求出通項(xiàng)，再代入求極限即可

解答：解：由任何正整數(shù)n，等式na_n+1=（n+2）a_n都成立知

an+1

an

=

n+2

n

即

an

an-1

=

n+1

n-1

故有

an

an-1

×

an-1

an-2

×…× 

a2

a1

=

an

a1

=

n+1

n-1

×

n

n-2

×…×

4

2

× 

3

1

=

n2+n

2

又a₁=1，故a_n=

n2+n

2

由

lim

n→∞

an

n2

=

lim

n→∞

n2+n 2

n2

=

lim

n→∞

(

1

2

+

1

2n

)=

1

2

故答案為

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的極限，由題設(shè)中所給的遞推關(guān)系求出通項(xiàng)再求其極限，數(shù)列的極限是數(shù)列中一類比較重要的題型，其特征是數(shù)列是無(wú)限的．