Question

（2007•靜安區(qū)一模）由市場(chǎng)調(diào)查得知：某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品，如果不作廣告宣傳且每件獲利a元，那么銷售量為b件；如果作廣告宣傳且每件售價(jià)不變，那么廣告費(fèi)用n千元比廣告費(fèi)用（n-1）千元時(shí)的銷售量多b×

1

2 n

件（n∈N*）．
（1）試寫(xiě)出銷售量S_n與n的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)a=10，b=4000時(shí)公司應(yīng)作幾千元廣告，銷售量為多少件時(shí)，才能使去掉廣告費(fèi)用后的獲利最大？

Answer 1

分析：（1）設(shè)廣告費(fèi)為n千元時(shí)的銷量為s_n，則s_n-1表示廣告費(fèi)為（n-1）元時(shí)的銷量，由題意，s_n-s_n-1=

b

2n

，可知數(shù)列{s_n}不成等差也不成等比數(shù)列，但是兩者的差

b

2n

構(gòu)成等比數(shù)列，對(duì)于這類問(wèn)題一般有以下兩種方法求解：
一、直接列式：由題，s=b+

b

2

+

b

22

+

b

23

+…+

b

2n

=b（2-

1

2n

）
解法二、利用累差疊加法：S1-S0=

b

2

，S2-S1=

b

22

，…Sn-Sn-1=

b

2n

，累加結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求S_n
（2））b=4000時(shí)，s=4000（2-

1

2n

），設(shè)獲利為T(mén)_n，則有T_n=s•10-1000n=40000（2-

1

2n

）-1000n，
欲使T_n最大，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可得

Tn≥Tn+1 Tn≥Tn-1

，代入結(jié)合n為正整數(shù)解不等式可求n，進(jìn)而可求S的最大值

解答：（1）解法一、直接列式：由題，s=b+

b

2

+

b

22

+

b

23

+…+

b

2n

=b（2-

1

2n

）（廣告費(fèi)為1千元時(shí)，s=b+

b

2

；2千元時(shí)，s=b+

b

2

+

b

22

；…n千元時(shí)s=b+

b

2

+

b

22

+

b

23

+…+

b

2n

）
解法二、（累差疊加法）設(shè)s₀表示廣告費(fèi)為0千元時(shí)的銷售量，
由題：

s1-s0= b 2 s2-s1= b 22 … sn-sn-1= b 2n

，相加得S_n-S₀=

b

2

+

b

22

+

b

23

+…+

b

2n

，
即S_n=b+

b

2

+

b

22

+

b

23

+…+

b

2n

=b（2-

1

2n

）．
（2）b=4000時(shí)，s=4000（2-

1

2n

），設(shè)獲利為t，則有t=s•10-1000n=40000（2-

1

2n

）-1000n
欲使T_n最大，則

Tn≥Tn+1 Tn≥Tn-1

，得

n≥5 n≤5

，故n=5，此時(shí)s=7875．
即該廠家應(yīng)生產(chǎn)7875件產(chǎn)品，做5千元的廣告，能使獲利最大．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的疊加求解通項(xiàng)公式，利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的最大（小）項(xiàng)，解題中要注意函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用．