Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)焦點(diǎn)在軸上，右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離與它到右準(zhǔn)線的距離之比為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若是橢圓上關(guān)于軸對稱的任意兩點(diǎn)，設(shè)，連接交橢圓于另一點(diǎn)．求證：直線過定點(diǎn)并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明詳見解析，；（3）.

【解析】

(1)根據(jù)題意列出關(guān)于的等式求解即可.

(2)先根據(jù)對稱性,直線過的定點(diǎn)一定在軸上,再設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程, 進(jìn)而求得的方程,并代入,化簡分析即可.

(3)先分析過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)的值,再分析存在時(shí),設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程,得出韋達(dá)定理再代入求解出關(guān)于的解析式,再求解范圍即可.

解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦距為,

由題意得,

由,可得

則,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

證明：根據(jù)對稱性,直線過的定點(diǎn)一定在軸上,

由題意可知直線的斜率存在,

設(shè)直線的方程為,

聯(lián)立,消去得到,

設(shè)點(diǎn),

則．

所以,

所以的方程為,

令得,

將,代入上式并整理,

,

整理得,

所以,直線與軸相交于定點(diǎn)．

當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí),直線的方程為,

此時(shí),

當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時(shí),

設(shè)直線的方程為,且在橢圓上,

聯(lián)立方程組,

消去,整理得,

則．

所以

所以,

所以,

由得,

綜上可得,的取值范圍是．