Question

【題目】如圖，三棱柱中，，，平面平面，與相交于點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題（1）可利用推論“若兩平面垂直，一個平面上的直線垂直于兩平面交線，則直線垂直于另一個平面”證明線面垂直。

（2）以為原點，以所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量即可求得二面角余弦值。

試題解析：

（1）證明：設的中點為，連.

∵，

∴四邊形為菱形，且為正三角形，∴.

∵，∴.

而，

∴平面，∴.

∵四邊形為菱形，則有，

又平面平面，平面平面，

∴平面，

∴，

又∵，∴平面.

（2）

如圖，∵，∴，

以為原點，以所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，

∵，

∴.

從而，有，.

∴.

設面的法向量為，

則，

又面的法向量為，

設二面角的大小為，由圖知為銳角，

則.