Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ex（ax2﹣x﹣1）（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，求a的取值范圍
（2）當(dāng)a＞0時，求f（|sinx|）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ex（ax2﹣x﹣1），

∴f'（x）=ex（ax2﹣x﹣1）+ex（2ax﹣1）=ex[ax2+（2a﹣1）x﹣2]，

①a=0時，顯然不滿足，

②當(dāng)a≠0時，f'（x）≤0恒成立，

即a＜0且（2a﹣1）2+4×2×a≤0，所以

（2）解：①當(dāng) ，

②當(dāng)

【解析】（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，即可求出a的范圍．（2）討論a的取值范圍，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，從而可求出函數(shù)的最小值．
【考點精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．