Question

已知{a_n}是公比大于1的等比數列，它的前3項和S₃=7，且a₁+3、3a₂、a₃+4構成等差數列．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）令，數列{b_n}的前n項是T_n，若對于任意正整數n，都有T_n＜m（m∈Z）成立，求m的最小值．

Answer 1

解：（I）由已知得：，解得a₂=2，
設數列{a_n}的公比為q，由a₂=2，可得，
又S₃=7，可知2q²-5q+2=0，解得，
由題意得q＞1，∴q=2．∴a₁=1，故數列{a_n}的通項為a_n=2^n-1；
（II）由于，，
∵，
∴使T_n＜m成立的整數m的最小值是3．
分析：（I）由a₁+3、3a₂、a₃+4構成等差數列，得到（a₁+3）+（a₃+4）=2（3a₂），又S₃=7，得到前三項之和等于7，兩者聯立即可求出第2項的值，然后設出等比數列的公比為q，利用等比數列的性質利用第2項表示出首項和第3項，代入S₃=7中列出關于q的方程，求出方程的解即可得到q的值，根據q大于1，得到滿足題意q的值，然后根據q的值求出等比數列的首項，利用首項和q寫出數列{a_n}的通項公式即可；
（II）利用（I）求出的數列{a_n}的通項公式，求出a_2n和a_2（n+1），代入中化簡后，得到b_n的通項公式，根據通項公式列舉出數列的各項，抵消化簡后得到T_n的通項公式，根據n取正整數得到T_n的最大值，即可得到使T_n＜m成立的整數m的最小值．
點評：此題考查學生掌握等比數列的性質，靈活運用等比數列的通項公式化簡求值，會進行數列的求和，是一道綜合題．