Question

已知S_n是等差數(shù)列{a_n}（n∈N^*）的前n項和，且S₈＞S₉＞S₇，有下列四個命題，期中是假命題的是（　�。�

• A、公差d＜0
• B、在所有S_n＜0中，S₁₇最大
• C、a₈＞a₉
• D、滿足S_n＞0的n的個數(shù)有15個

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,簡易邏輯

分析：由已知的不等式S₈＞S₉＞S₇，以及S₉=S₈+a₉，S₈=S₇+a₈，S₉=S₇+a₈+a₉，利用不等式的性質(zhì)得出a₈，a₉及a₈+a₉的符號，進(jìn)而再利用等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式對各項進(jìn)行判斷，即可得到正確選項．

解答： 解：∵S₈＞S₉，且S₉=S₈+a₉，
∴S₈＞S₈+a₉，即a₉＜0，
又S₈＞S₇，S₈=S₇+a₈，
∴S₇+a₈＞S₇，即a₈＞0，
∴d=a₉-a₈＜0，故選項A，C為真命題；
∵S₉＞S₇，S₉=S₇+a₈+a₉，
∴S₇+a₈+a₉＞S₇，即a₈+a₉＞0，
又∵a₁+a₁₅=2a₈，
∴S₁₅=

15(a1+a15)

2

=15a₈＞0，
又∵a₁+a₁₆=a₈+a₉，
∴S₁₆=

16(a1+a16)

2

=8（a₈+a₉）＞0，
又a₁+a₁₇=2a₉，
∴S₁₇=

17(a1+a17)

2

=17a₉＜0，
故選項B為真命題，選項D為假命題；
故選：D

點評：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的前n項和公式，熟練運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．