Question

【題目】已知橢圓C： + =1（0＜b＜3）的左右焦點分別為E，F，過點F作直線交橢圓C于A，B兩點，若 且
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點O為原點，圓D：（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）與橢圓C交于M，N兩點，點P為橢圓C上一動點，若直線PM，PN與x軸分別交于點R，S，求證：|OR||OS|為常數．

Answer 1

【答案】
（1）解：設|BF|=m，則|AF|=2m，|BE|=6﹣m，|AE|=6﹣2m，|AB|=3m．

則有（6﹣2m）2+（3m）2=（6﹣m）2，解得m=1

∴|AF|=2，|BE|=5，|AE|=4，|AB|=3，

∴|AB|2+|AE|2=|BE|2，∴AE⊥AF．

于是，在Rt△AEF中，|EF|2=|AE|2+|AF|2=42+22=20，

所以|EF|=2 ，所以b2=9﹣（ ）2=4，

橢圓C的方程為 ．

（2）證明：由條件可知M、N兩點關于x軸對稱，

設M（x1，y1），P（x0，y0），則N（x1，﹣y1），

=1， ，

所以 ， ．

直線PM的方程為 ，

令y=0得點R的橫坐標 ，

同理可得點S的橫坐標 ．

于是

= ，

所以，|OR||OS|為常數9．

【解析】（1）設|BF|=m，推導出（6﹣2m）2+（3m）2=（6﹣m）2 ， 從而m=1，進而AE⊥AF．由此能求出橢圓C的方程．（2）由條件可知M、N兩點關于x軸對稱，設M（x1 ， y1），P（x0 ， y0），則N（x1 ， ﹣y1），直線PM的方程為 ，令y=0得點R的橫坐標 ，同理可得點S的橫坐標 ．由此能證明|OR||OS|為常數．