Question

已知向量

n

=（

3

sin

x

4

，-1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），記f（x）=

m

•

n

，
（Ⅰ）求f（x）的值域和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，若f（A）=-

1

2

，a=2，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式、兩角和差的三角公式可得f（x）=sin（

x

2

-

π

6

）-

1

2

，由此可得函數(shù)的值域．令 2kπ-

π

2

≤

x

2

-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）在△ABC中，由條件利用正弦定理可得cosB的值可得B的值．由 f（A）=-

1

2

，求得 A=

π

3

，可得 C=π-A-B的值，從而得到△ABC為等邊三角形，再根據(jù)a=2，求得△ABC的面積S．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得f（x）=

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

-cos²

x

4

=

3

2

sin

x

2

-

1+cos x 2

2

=sin（

x

2

-

π

6

）-

1

2

，
故函數(shù)的值域為[-

3

2

，

1

2

]．
令 2kπ-

π

2

≤

x

2

-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 4kπ-

2π

3

≤x≤4kπ+

4π

3

，k∈z，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ-

2π

3

，4kπ+

4π

3

]，k∈z．
（Ⅱ）在△ABC中，∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理可得 2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
即 2sinAcosB=sinA，∴cosB=

1

2

，B=

π

3

．
∵f（A）=sin（

A

2

-

π

6

）-

1

2

=-

1

2

，∴sin（

A

2

-

π

6

）=0，∴

A

2

-

π

6

=0，∴A=

π

3

，∴C=π-A-B=

π

3

，
∴A=B=C，∴△ABC為等邊三角形，再根據(jù)a=2，可得△ABC的面積S=

1

2

×2×2sin

π

3

=

3

．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式、兩角和差的三角公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性、正弦定理的應用，屬于中檔題．