Question

（2003•崇文區(qū)一模）某化肥廠從今年1月起，若不改善生產環(huán)境，按現(xiàn)狀生產，每月收入為70萬元，同時還將受到環(huán)保部門的處罰，第1個月罰1萬元，以后逐月遞增2萬元．如果從今年1月起投資400萬元增加回收凈化設備（改造設備時間不計），一方面可以改善環(huán)境，免去環(huán)保部門的處罰，另一方面也可降低原料成本，據(jù)測算，投產后的前5個月中的累計收入y（萬元）是生產時間n（以月為單位）的二次函數(shù)．生產前1、前2、前3個月的累計收入分別可達101萬元、204萬元和309萬元，以后每個月的收入穩(wěn)定在第5個月的水平．
（I）求投資改造設備后，累計收入y與生產時間n的函數(shù)表達式；
（II）至少經過多少個月，投資改造設備后的純收入多于不改造設備時的純收入？

Answer 1

分析：（I）根據(jù)投產后的前5個月中的累計收入y（萬元）是生產時間n（以月為單位）的二次函數(shù)可利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，以后累計收入成等差數(shù)列，從而求出投資改造設備后，累計收入y與生產時間n的函數(shù)表達式；
（II）先比較改造設備后前5個月的純收入與不改造設備前5個月的純收入可知5個月內投資不能見成效，然后根據(jù)投資改造設備后的純收入多于不改造設備時的純收入建立關系式，解之即可．

解答：本小題滿分（15分）．
（I）解：設y=an²+bn+c（n≤5，n∈N）．
則

101=a+b+c 204=4a+2b+c 309=9a+3b+c.

解此方程組，得a=1，b=100，c=0．
∴y=n²+100n（n≤5，n∈N）．…（4分）
當n＞5，n∈N時，
y=525+（n-5）[525-416]=109n-20．…（7分）
即y=

n2+100n(n≤5，n∈N) 109n-20(n＞5，n∈N).

…（8分）
（II）解：改造設備后前5個月的純收入：5²+100×5-400=125，
不改造設備前5個月的純收入：70×5-[1+3+5+7+9]=325，
∵125＜325，
∴5個月內投資不能見成效，…（10分）
當n＞5，n∈N時，
令109n-20-400＞70n-[n+

n(n-1)

2

×2]，即109n-420＞70n-n2，
化簡，得n²+39n-420＞0，…（13分）
當5＜n≤8時，n²+39n-420＜0，
當n≥9時，n²+39n-420＞0．
即至少經過9個月，投資改造設備后的純收入才能多于不改造設備時的純收入．…（15分）

點評：本題主要考查的知識點是函數(shù)解析式的求法，以及函數(shù)模型的選擇與應用，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．