Question

函數(shù)f(x)=+lnx(a≠0)，
(1)求函數(shù)y=f(x)的遞增區(qū)間；
(2)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=f(x)在[，4]上的最大值和最小值；
(3)求證：。

Answer 1

(1)解：，
①若a＜0，f′(x)＞0對(duì)一切x＞0恒成立，∴f(x)的增區(qū)間為(0，+∞)；
②若a＞0，則當(dāng)時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；
故當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(0，+∞)，當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)的增區(qū)間為；
(2)解：當(dāng)a=1時(shí)，，
當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f′(x)的變化情況如下表：

，
，
∴。
(3)證明：當(dāng)a=1時(shí)，由(2)知f(x)≥f(1)=0，
∴，即(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào))，
①令，則有(此時(shí)等號(hào)不成立)，
即有，
∴當(dāng)k=n+1時(shí)，，
當(dāng)k=n+2時(shí)，，
……
當(dāng)k=3n時(shí)，，
累加可得：。
②同理令，則有(此時(shí)等號(hào)不成立)，
即有，
∴當(dāng)k=n時(shí)，，
當(dāng)k=n+1時(shí)，，
當(dāng)k=3n-1時(shí)，，
累加可得：，
即：，
故：。