Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x（a∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若x=-

1

3

是函數(shù)f（x）的極值點，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，a]上的最大值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否存在實數(shù)b，使得函數(shù)g（x）=bx的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個交點？若存在，請求出b的取值范圍；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出函數(shù)的導數(shù)，然后根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系進行計算，
（Ⅱ）首先利用函數(shù)的導數(shù)與極值的關(guān)系求出a的值，然后求出函數(shù)極值的大小并與端點函數(shù)值進行比較，進而求出函數(shù)的最大值，
（Ⅲ）可以先假設(shè)存在，然后再依據(jù)根的存在性定理進行判斷．

解答：解：（Ⅰ）由題意得f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當x∈[1，+∞）時，恒有f′（x）≥0，
即3x²-2ax-3≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
由△=4a2+36＞0，

a

3

≤1且f′（1）=-2a≥0，
解得a≤0，
（Ⅱ）依題意得f′(-

1

3

)=0，

1

3

+

2

3

a-3=0，a=4，
∴f（x）=x³-4x²-3x，
令f′（x）=3x²-8x-3=0，
解得x1=-

1

3

，x2=3，
而f(1)=-6，f(3)=-18，f(-

1

3

)=-12，
故f（x）在區(qū)間[1，4]上的最大值是f（1）=-6．
（Ⅲ）若函數(shù)g（x）=bx的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個不同的交點，
即方程x³-4x²-3x=bx恰有3個不等的實數(shù)根，
而x=0是方程x³-4x²-3x=bx的一個實數(shù)根，則
方程x²-4x-3-b=0有兩個非零實數(shù)根，
則

△=16+4(b+3)＞0 -3-b≠0

，
即b＞-7且b≠-3，
故滿足條件的b存在，其取值范圍是（-7，-3）∪（-3，+∞）．

點評：掌握并會熟練運用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及根的存在性定理，會運用導數(shù)解決函數(shù)的極值和最值問題．