Question

【題目】已知函數(shù) ， .

（1）若存在極值點(diǎn)1，求的值；

（2）若存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證： （為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)， ）.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）由存在極值點(diǎn)為1，得，可解得a.

（2）函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，實(shí)質(zhì)是對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行討論， 時(shí)， 在上為增函數(shù)（舍）；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 增，當(dāng)時(shí)， 為減，又因?yàn)?/span>存在兩個(gè)不同零點(diǎn)，所以，解不等式可得.

試題解析：(1) ，因?yàn)?/span>存在極值點(diǎn)為1，所以，即，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以.

(2)

①當(dāng)時(shí)， 恒成立，所以在上為增函數(shù)，不符合題意；

②當(dāng)時(shí)，由得，

當(dāng)時(shí)， ，所以為增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)， ，所為增函減數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)， 取得極小值

又因?yàn)?/span>存在兩個(gè)不同零點(diǎn)，所以，即

整理得，令， ， 在定義域內(nèi)單調(diào)遞增， ，由知，故成立.