Question

如圖，在長方體中，，，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)，小螞蟻從點(diǎn)A沿長方體的表面爬到點(diǎn)，所爬的最短路程為。

（1）求證：；

（2）求AB的長度；

（3）在線段AB上是否存在點(diǎn)E，使得二面角的大小為？若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：

解法一：

（1）連接，由長方體的性質(zhì)可知：

AE⊥平面，

∴是在平面內(nèi)的射影。

又∵，∴四邊形是正方形，∴，

∴（三垂線定理）。

（2）設(shè)，∵四邊形是正方形，

∴ 小螞蟻從點(diǎn)A沿長方體的表面爬到點(diǎn)可能有兩種途徑：

如圖a的最短路程為

如圖b的最短路程為

∵

∴

∴，∴

（3）假設(shè)存在點(diǎn)E，連接DE，設(shè)，過點(diǎn)D在

平面ABCD內(nèi)作DH⊥EC，連接，則為二面角的平面角，

∴；

∴

在內(nèi)，，而

即，解得。

即存在點(diǎn)E，且到點(diǎn)B的距離為時(shí)，二面角的大小為。

解法二：

（1）如圖c建立空間坐標(biāo)系，設(shè)

則

∴

∴。

（2）同解法一。

（3）假設(shè)存在點(diǎn)E，平面DEC的法向量

設(shè)平面的法向量，則

，即

       解得，∴

       由題意得，

解得或（舍去）

即當(dāng)點(diǎn)E離B為時(shí)，二面角的大小為。