Question

【題目】如果直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，稱該直線為橢圓的“切線”.已知橢圓，點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且是橢圓的“切線”.

（1）證明：過(guò)橢圓上的點(diǎn)的“切線”方程是；

（2）設(shè)，是橢圓長(zhǎng)軸上的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，直線，分別交軸于點(diǎn)，，過(guò)的橢圓的“切線”交軸于點(diǎn)，證明：點(diǎn)是線段的中點(diǎn)；

（3）點(diǎn)不在軸上，記橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，判斷過(guò)的橢圓的“切線”與直線，所成夾角是否相等？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）聯(lián)立直線和橢圓方程，由，得直線是橢圓的切線；（2），得. ，得，過(guò)點(diǎn)的切線為，得，證得點(diǎn)是線段的中點(diǎn)；（3）的方向向量，，，記與的夾角，與的夾角，，，所以，有，從而有與直線，所成的夾角相等.

試題解析：

（1）由點(diǎn)在橢圓上，有， 在直線上

當(dāng)時(shí)，由，得，直線方程為，代入橢圓方程得，得一個(gè)交點(diǎn)，直線是橢圓切線.

當(dāng)時(shí)，有，直線為代入橢圓方程得，有，直線是橢圓切線.

另解：不討論將橢圓方程化為，將直線方程代入消，得到的一元二次方程，然后證明

（2）點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，，得. ，得

過(guò)點(diǎn)的切線為，得.由，得，從而有，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).

（3）,,的方向向量，.，，，，記與的夾角，與的夾角.

，

，

所以，有，從而有與直線，所成的夾角相等.