Question

已知函數(shù)f（x）在R⁺上有定義，且滿足以下條件：①f（x）在R⁺上嚴格單調(diào)遞減，且x²f（x）＞1．②在R⁺上恒有f²（x）f（f（x）-

1

x2

）=f³（1）．
（1）求函數(shù)值f（1）；
（2）給出一個滿足題設條件的函數(shù)f（x）并證明．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）令x=1，代入兩個條件，得到f（f（1）-1）=f（1），然后運用單調(diào)性即可得到f（1）；
（2）設f（x）=

a

x2

，運用條件②求出參數(shù)a的值，注意f（1）=2，然后證明分別符合條件①②，注意運用單調(diào)性的定義．

解答： 解：（1）令x=1則由①得，f（1）＞1，
由②得，f²（1）f（f（1）-1）=f³（1），
∴f（f（1）-1）=f（1），
∵f（x）在R⁺上嚴格單調(diào)遞減，
∴f（1）-1=1即f（1）=2；
（2）設f（x）=

a

x2

，由②得，

a2

x4

f(

a

x2

-

1

x2

)=23，
即

a2

x4

•

a

( a-1 x2 )2

=8，化簡得，a³-8a²+16a-8=0，
即（a-2）（a²+2a+4）-8a（a-2）=0，
解得，a=2或3±

5

，
又f（1）=2，∴a=2，故f（x）=

2

x2

．
證明如下：當0＜x₁＜x₂時，f（x₂）-f（x₁）=

2(x1+x2)(x1-x2)

x12x22

＜0，
即f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在R⁺上嚴格遞減，又f（x）=

2

x2

＞

1

x2

，即f（x）滿足條件①，
又f²（x）f（f（x）-

1

x2

）=（

2

x2

）²•f（

2

x2

-

1

x2

）=

4

x4

•

2

( 1 x2 )2

=8=f³（1），∴f（x）滿足條件②，
∴函數(shù)f（x）=

2

x2

滿足題設的兩個條件．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及應用，考查單調(diào)性的定義及運用，同時考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，注意正確運用兩個條件是解決此題的關鍵．