Question

定義在R上的奇函數(shù)f （x）滿足；當(dāng)x＞0時(shí)，f （x）=2006^x+log₂₀₀₆x，則在R上方程f （x）=0的實(shí)根個(gè)數(shù)為

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   2006

Answer 1

C
分析：由題意先畫出當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f₁（x）=2006^x，f₂（x）=-log₂₀₀₆x的圖象，由圖象求出方程根的個(gè)數(shù)；再根據(jù)奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性以及f（0）=0，求出方程所有根的個(gè)數(shù)．
解答：當(dāng)x＞0時(shí)，令f（x）=0得，2006^x=-log₂₀₀₆x
在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)f₁（x）=2006^x，f₂（x）=-log₂₀₀₆x的圖象，
如下圖，可知兩個(gè)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）=0只有一個(gè)實(shí)根，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，方程f（x）=0也有一個(gè)實(shí)根，
又∵f（0）=0，∴方程f（x）=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)為3．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是奇（偶）函數(shù)圖象的性質(zhì)應(yīng)用，即根據(jù)題意畫出一部分函數(shù)的圖象，由交點(diǎn)的個(gè)數(shù)求出對(duì)應(yīng)方程根的個(gè)數(shù)，利用圖象的對(duì)稱性和“f（0）=0”求出方程根的個(gè)數(shù)，易漏f（0）=0而錯(cuò)誤的認(rèn)為有2個(gè)交點(diǎn)