Question

已知某運動的物體做變速直線運動,它的速度v是時間t的函數(shù)v(t),求物體在t=0到t=t₀這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程s.

Answer 1

思路分析:利用定積分的定義,先分割,再近似代替,然后作和,求出極限即得路程.

解:(1)分割:將時間區(qū)間［0,t₀］分成n等份:［t₀］(i=1,2,…,n),每個小區(qū)間所表示的時間為Δt=;各區(qū)間物體運動的距離記作Δs_i(i=1,2,…,n).

(2)近似代替:在每個小區(qū)間上以勻速直線運動的路程近似代替變速直線運動的距離.在小區(qū)間［］上任取一時刻ξ_i(i=1,2,…,n).用時刻ξ_i的速度v(ξ_i)近似代替第i個小區(qū)間上的速度.由勻速直線運動的路程公式,每個小區(qū)間上物體運動所經(jīng)過的距離可以近似地表示為Δs_i≈v(ξ_i)Δt(i=1,2,…,n).

(3)求和:因為每個小區(qū)間上物體運動的距離可以用這一區(qū)間上做勻速直線運動的路程近似代替,所以在時間［0,t₀］內(nèi)物體運動的距離s,就可以用這一物體分別在n個小區(qū)間上作n個勻速直線運動的路程和近似代替,即s=.

(4)求極限:當所分時間區(qū)間越短,即Δt=越小時,的值越接近于s.因此,當n→∞,即Δt=→0時,的極限,就是所求的物體在時間區(qū)間［0,t₀］上經(jīng)過的路程.由此得到s=.

    深化升華 s=為做變速直線運動的物體在［0,t₀］這段時間內(nèi)所運動的路程,其中ξ_i為區(qū)間［］上的任意值,取ξ_i=t₀時,s=;

取ξ_i=t₀時,s=;取ξ_i=時,

s=.當物體做勻速直線運動時,上面的結(jié)論仍成立.