Question

現(xiàn)有甲、乙兩個靶．某射手向甲靶射擊兩次，每次命中的概率為

3

4

，每命中一次得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊一次，命中的概率為

2

3

，命中得2分，沒有命中得0分．該射手每次射擊的結(jié)果相互獨立．假設(shè)該射手完成以上三次射擊．
（I）求該射手恰好命中兩次的概率；
（II）求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學期望EX；
（III）求該射手向甲靶射擊比向乙靶射擊多擊中一次的概率．

Answer 1

（I）記：“該射手恰好命中兩次”為事件A，“該射手第一次射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第二次射擊甲靶命中”為事件C，“該射手射擊乙靶命中”為事件D．
由題意知，P(B)=P(C)=

3

4

，P(D)=

2

3

，
所以P(A)=P(BC

.

D

)+P(B

.

C

D)+P(

.

B

CD)=P(B)P(C)P(

.

D

)+P(B)P(

.

C

)P(D)+P(

.

B

)P(C)P(D)
=

3

4

×

3

4

×(1-

2

3

)+

3

4

×(1-

3

4

)×

2

3

+(1-

3

4

)×

3

4

×

2

3

=

7

16

．
（II）根據(jù)題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，4．
P(X=0)=P(

.

B

.

C

.

D

)=(1-

3

4

)×(1-

3

4

)×(1-

2

3

)=

1

48

，P(X=1)=P(B

.

C

.

D

)+P(

.

B

C

.

D

)=

3

4

×(1-

3

4

)×(1-

2

3

)+(1-

3

4

)×

3

4

×(1-

2

3

)=

1

8

，
P(X=2)=P(BC

.

D

)+P(

.

B

.

C

D)=

3

4

×

3

4

×(1-

2

3

)+(1-

3

4

)×(1-

3

4

)×

2

3

=

11

48

，
P(X=3)=P(B

.

C

D)+P(

.

B

CD)=

3

4

×(1-

3

4

)×

2

3

+(1-

3

4

)×

3

4

×

2

3

=

1

4

，
P（X=4）=P（BCD）=

3

4

×

3

4

×

2

3

=

3

8

，
故X的分布列是

X	0	1	2	3	4
P	1 48	1 8	11 48	1 4	3 8

∴EX=0×

1

48

+1×

1

8

+2×

11

48

+3×

1

4

+4×

3

8

=

17

6

．
（III）設(shè)“該射手向甲靶射擊比向乙靶射擊多擊中一次”為事件A₁，“該射手向甲靶射擊命中一次且向乙靶射擊未命中”為事件B₁，“該射手向甲靶射擊命中2次且向乙靶射擊命中”為事件B₂，
則A₁=B₁∪B₂，B₁，B₂為互斥事件．
P（A₁）=P（B₁）+P（B₂）=

3

4

×(1-

3

4

)×(1-

2

3

)+(1-

3

4

)×

3

4

×(1-

2

3

)+

3

4

×

3

4

×

2

3

=

1

2

．
∴該射手向甲靶射擊比向乙靶射擊多擊中一次的概率為

1

2

．