Question

已知直三棱柱中，△為等腰直角三角形，∠＝90°，且＝，、、分別為、、的中點(diǎn)．

⑴求異面直線與的夾角余弦值；

⑵求證：∥平面；

⑶求證：⊥平面.

Answer 1

解：(1)做FH//AC, cos∠B₁FH即所求，Rt△B₁FH中，cos∠B₁FH=

（2）方法i：設(shè)G是AB的中點(diǎn)，連結(jié)DG，

則DG平行且等于EC，       

所以四邊形DECG是平行四邊形，所以DE//GC，

從而DE∥平面ABC．   

     

方法ii：連接A₁B、A₁E，并延長(zhǎng)A₁E交AC的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)P，連接BP．由E為C₁C的中點(diǎn)，A₁C₁∥CP，

可證A₁E＝EP，              

∵D、E是A₁B、A₁P的中點(diǎn)，∴DE∥BP，

又∵BP平面ABC，DE平面ABC，∴DE∥平面ABC

（3）∵△ABC為等腰直角三角形，F為BC的中點(diǎn)，

∴BC⊥AF，又∵B₁B⊥平面ABC，可證B₁F⊥AF，      

設(shè)＝，則

∴B₁F⊥EF，∴⊥平面；