Question

如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE．

(1) 證明：BD⊥平面PAC；
(2) 若AD＝2，當PC與平面ABCD所成角的正切值為時，求四棱錐P－ABCD的外接球表面積．

Answer 1

(1)見解析；(2).

試題分析：(1)先利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理，得到 和 ，因為 ，所以利用直線與平面垂直的判定定理可知， ；(2)先利用直線和平面垂直的性質(zhì)定理得到，那么為正方形，得到邊的值，然后根據(jù)已知的垂直關(guān)系，找到線面角，根據(jù)線面角的正切值求出，根據(jù)此四棱錐的性質(zhì)可知，所求的外接球的直徑即是線段，由已求得的量結(jié)合勾股定理求得的值，再由球的表面積公式：，求此四棱錐的外接球的表面積.
試題解析：(1)證明　∵，，∴．2分
同理由，可證得．                         4分
又，∴．                                6分
(2)由(1)知，又， ∴．
故矩形為正方形，∴．所以    8分
因為，所以與平面所成角為，
因為與平面所成角的正切值為，即，
所以，                         10分
又，所以，
所以四棱錐的外接球表面積為．12分