Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-6）+alnx在x∈（2，+∞）上不具有單調(diào)性．
（I）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若f'（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)g(x)=f′(x)+6-

2

x2

，試證明：對任意兩個(gè)不相等正數(shù)x₁、x₂，不等式|g(x1)-g(x2)|＞

38

27

|x1-x2|恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函數(shù)在x∈（2，+∞）上不具有單調(diào)性時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍，可以考慮求導(dǎo)函數(shù)的方法，則導(dǎo)函數(shù)在（2，+∞）上即有正也有負(fù)，即有零點(diǎn)，求出范圍即可．
（Ⅱ）由（I）求出g（x）的函數(shù)表達(dá)式，然后求導(dǎo)函數(shù)h（x），通過判斷h（x）的單調(diào)性求出g'（x）＞

38

27

，然后可以得到函數(shù)y=g(x)-

38

27

x是增函數(shù)，對任意兩個(gè)不相等正數(shù)x₁、x₂，即可得到不等式成立．

解答：解：（I）f′(x)=2x-6+

a

x

=

2x2-6x+a

x

，
∵f（x）在x∈（2，+∞）上不具有單調(diào)性，∴在x∈（2，+∞）上f'（x）有正也有負(fù)也有0，
即二次函數(shù)y=2x²-6x+a在x∈（2，+∞）上函數(shù)值有負(fù)數(shù)．
∵y=2x²-6x+a是對稱軸是x=

3

2

，開口向上的拋物線，
∴2•2²-6•2+a＜0的實(shí)數(shù)a的取值范圍（-∞，4）
故答案為（-∞，4）．

（II）由（I）g(x)=f′(x)-

2

x2

+6=2x+

a

x

-

2

x2

(x＞0)，
∵a＜4，∴g′(x)=2-

a

x2

+

4

x3

＞2-

4

x2

+

4

x3

=

2x3-4x+4

x3

，（8分）
設(shè)h(x)=2-

4

x2

+

4

x3

，h′(x)=

8

x3

-

12

x4

=

4(2x-3)

x4

，h（x）在(0，

3

2

)是減函數(shù)，在(

3

2

，+∞)增函數(shù)，
當(dāng)x=

3

2

時(shí)，h（x）取最小值

38

27

∴從而g'（x）＞

38

27

，∴(g(x)-

38

27

x)′＞0，
函數(shù)y=g(x)-

38

27

x是增函數(shù)，x₁、x₂是兩個(gè)不相等正數(shù)，
不妨設(shè)x₁＜x₂，則g(x2)-

38

27

x2＞g(x1)-

38

27

x1
∴g(x2)-g(x1)＞

38

27

(x2-x1)，
∵x₂-x₁＞0，∴

g(x1)-g(x2)

x1-x2

＞

38

27

∴|

g(x1)-g(x2)

x1-x2

|＞

38

27

，即|g(x1)-g(x2)|＞

38

27

|x1-x2|

點(diǎn)評：此題主要考查不等式的證明問題，其中涉及到利用求導(dǎo)函數(shù)的方法求函數(shù)單調(diào)性的問題，涵蓋的考點(diǎn)較多，技巧性強(qiáng)，屬于綜合性試題．