Question

【題目】已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，實(shí)數(shù)a是常數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－ax－1的定義域?yàn)?0，＋∞)．
（1）設(shè)a＝e，求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；
（2）判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a＝e，∴f(x)＝ex－ex－1，f′(x)＝ex－e，f(1)＝－1，f′(1)＝0.∴當(dāng)a＝e時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝－1.
（2）解：∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.
易知f′(x)＝ex－a在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)a≤1時(shí)，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
當(dāng)a>1時(shí)，由f′(x)＝ex－a＝0，得x＝lna，
∴當(dāng)0<x<lna時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x>lna時(shí)，f′(x)>0，
∴f(x)在(0，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)a≤1時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在(0，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增．
【解析】(1)首先求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入到導(dǎo)函數(shù)的解析式求出函數(shù)值即為原函數(shù)的切線的斜率，再由直線的點(diǎn)斜式求出方程即可。(2) 首先求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a分情況討論得出導(dǎo)函數(shù)在指定區(qū)間上的正負(fù)情況進(jìn)而得出原函數(shù)的單調(diào)性即可。