Question

求函數(shù)y=

1

sinx

+

1

cosx

在x∈(0，

π

2

)上的值域是

[2

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：通過(guò)同分化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，利用基本不等式，以及正弦函數(shù)的有界性，求出函數(shù)的值域．

解答：解：函數(shù)y=

1

sinx

+

1

cosx

=

sinx+cosx

sinxcosx

≥

2 sinxcosx

sinxcosx

=

2

sinxcosx

=

2 2

sin2x

，當(dāng)且僅當(dāng)sinx=cosx時(shí)等號(hào)成立，
∵x∈(0，

π

2

)
∴2x∈（0，π），當(dāng)2x=

π

2

時(shí)函數(shù)取得最小值，
即：

2 2

sin2x

≥2

2

，
∴函數(shù)y=

1

sinx

+

1

cosx

的值域?yàn)椋?span id="mnvowss" class="MathJye">[2

2

，+∞)，
故答案為：[2

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查基本不等式的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力以及計(jì)算能力．