【題目】已知橢圓
：
的焦距為8，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形。
（1）求的方程；
（2）設
為的左焦點，
為直線
上任意一點，過點作
的垂線交于兩點
,
.
（i）證明：
平分線段
（其中
為坐標原點）；
（ii）當
取最小值時，求點的坐標。
【答案】（1）
；（2）見解析
【解析】
（1）由已知，根據(jù)橢圓的焦距為8，其短軸的兩個端點與長軸的個端點構成正三角形，求得
的值，即可求得橢圓的方程；
（2）（�。┰O點
的坐標為
，驗證當
時，
平分
顯然成立；當
由直線的方程和橢圓的方程聯(lián)立方程組，求解中點
的坐標，即可得到結論；
（ⅱ）由（ⅰ）可知，求得和
，得到
，利用基本不等式，即可求解.
（1）由已知，得
. 因為
，易解得
.
所以，所求橢圓
的標準方程為
（2）
設點的坐標為
當時，與
軸垂直
為的中點
平分顯然成立
當由已知可得：
則直線的方程為：
設
消去
得：
，
中點的坐標為
又
在直線上.
綜上平分線段
當時，
則
當
時，由可知
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(當且僅當
，即
時等號成立)，
∴點的坐標為
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】若函數(shù)
滿足：對于其定義域
內(nèi)的任何一個自變量
，都有函數(shù)值
，則稱函數(shù)在上封閉.
（1）若下列函數(shù)：
，
的定義域為
，試判斷其中哪些在上封閉，并說明理由.
（2）若函數(shù)
的定義域為
，是否存在實數(shù)
，使得
在其定義域上封閉？若存在，求出所有的值，并給出證明；若不存在，請說明理由.
（3）已知函數(shù)在其定義域上封閉，且單調(diào)遞增，若
且
，求證：
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：
＋
＝1(a>b>0)的離心率為
，橢圓上動點P到一個焦點的距離的最小值為3(
－1)．
(1) 求橢圓C的標準方程；
(2) 已知過點M(0，－1)的動直線l與橢圓C交于A，B兩點，試判斷以線段AB為直徑的圓是否恒過定點，并說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在某次活動中，有5名幸運之星.這5名幸運之星可獲得
、
兩種獎品中的一種，并規(guī)定：每個人通過拋擲一枚質(zhì)地均為的骰子決定自己最終獲得哪一種獎品（骰子的六個面上的點數(shù)分別為1點、2點、3點、4點、5點、6點），拋擲點數(shù)小于3的獲得獎品，拋擲點數(shù)不小于3的獲得獎品.
（1）求這5名幸運之星中獲得獎品的人數(shù)大于獲得獎品的人數(shù)的概率；
（2）設
、
分別為獲得、兩種獎品的人數(shù)，并記
，求隨機變量
的分布列及數(shù)學期望.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，點
，直線
，設圓
的半徑為1， 圓心在
上.
（1）若圓心也在直線
上，過點
作圓的切線，求切線方程；
（2）若圓上存在點
，使
，求圓心的橫坐標
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】漁民出海打魚，為了保證獲得的魚新鮮，魚被打上岸后，要在最短的時間內(nèi)將其分揀、冷藏，若不及時處理，打上來的魚很快地失去新鮮度（以魚肉內(nèi)的三甲胺量的多少來確定魚的新鮮度.三甲胺是一種揮發(fā)性堿性氨，是氨的衍生物，它是由細菌分解產(chǎn)生的.三甲胺量積聚就表明魚的新鮮度下降，魚體開始變質(zhì)進而腐�。�.已知某種魚失去的新鮮度
與其出海后時間
（分）滿足的函數(shù)關系式為
.若出海后10分鐘，這種魚失去的新鮮度為10%，出海后20分鐘，這種魚失去的新鮮度為20%，那么若不及時處理，打上來的這種魚在多長時間后開始失去全部新鮮度（已知
，結果取整數(shù)）（ ）
A.33分鐘B.40分鐘C.43分鐘D.50分鐘
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的一個焦點與上、下頂點構成直角三角形，以橢圓
的長軸長為直徑的圓與直線
相切.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）設過橢圓右焦點且不平行于
軸的動直線與橢圓
相交于
兩點，探究在
軸上是否存在定點
，使得
為定值？若存在，試求出定值和點
的坐標；若不存在，請說明理由.
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