Question

 （注意：在試題卷上作答無效）

    設數(shù)列的前項和為，對一切，點都在函數(shù) 的圖象上．

   （Ⅰ）求及數(shù)列的通項公式；

   （Ⅱ） 將數(shù)列依次按1項、2項、3項、4項循環(huán)地分為（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），（，，），（，，，）；（），…，分別計算各個括號內各數(shù)之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數(shù)列為，求的值；

   （Ⅲ）令（），求證：．

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）因為點在函數(shù)的圖象上，

    故，所以．令，得，所以；

    令，得， ；令，得，．

    由此猜想：．

    用數(shù)學歸納法證明如下：

    ① 當時，有上面的求解知，猜想成立．

    ② 假設時猜想成立，即成立，

    則當時，注意到，

    故，．

    兩式相減，得，所以．

    由歸納假設得，，故．

    這說明時，猜想也成立．

    由①②知，對一切，成立 ．  （4分）

    另解：因為點在函數(shù)的圖象上，

    故，所以    ①．

    令，得，所以；

    時    ②

    時①－②得

    令，

    即與比較可得

    ，解得．

    因此

    又，所以，從而．

   （2）因為（），所以數(shù)列依次按1項、2項、3項、4項循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循環(huán)記為一組．由于每一個循環(huán)含有4個括號，  故 是第25組中第4個括號內各數(shù)之和．由分組規(guī)律知，由各組第4個括號中所有第1個數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為20．同理，由各組第4個括號中所有第2個數(shù)、所有第3個數(shù)、所有第4個數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列，且公差均為20．故各組第4個括號中各數(shù)之和構成等差數(shù)列，且公差為80．注意到第一組中第4個括號內各數(shù)之和是68，

    所以．又=22，所以=2010  （9分）

   （3）有（1）中知，∴，

    當時，；

    當時，

    顯然

    而（）

   

    ． （14分）