Question

函數(shù)f（x）=ax³+（a-1）x²+48（a-2）x+b的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則f（x）在[-4，4]上的單調(diào)性是（　�。�

A．增函數(shù)

B．減函數(shù)

C．在[-4，0]上是增函數(shù)，在[0，4]上是減函數(shù)

D．在[-4，0]上是減函數(shù)，在[0，4]上是增函數(shù)

Answer 1

分析：依題意，f（x）為奇函數(shù)，從而可得a=1，b=0，利用f（x）=x³-48x的導(dǎo)函數(shù)判斷即可．

解答：解：∵f（x）=ax³+（a-1）x²+48（a-2）x+b的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，
∴y=f（x）為奇函數(shù)，
∴f（0）=b=0，
f（-1）+f（1）=0，即-a+（a-1）-48（a-2）+a+（a-1）+48（a-2）=0
∴a=1，
∴f（x）=x³-48x，
∴f′（x）=3x²-48=3（x²-16），
當(dāng)x∈[-4，4]時(shí)，f′（x）≤0，
∴f（x）在[-4，4]上是單調(diào)減函數(shù)．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得a=1，b=0是關(guān)鍵，屬于中檔題．