Question

有下列命題：
①若f（x）存在導(dǎo)函數(shù)，則f′（2x）=[f（2x）]′．
②若函數(shù)h（x）=cos⁴x-sin⁴x，則h′(

π

12

)=1；
③若函數(shù)g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），則g′（2010）=2009!．
④若三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d，則“a+b+c=0”是“f（x）有極值點(diǎn)”的充要條件．
其中真命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：①中f（2x）為復(fù)合函數(shù)，故其導(dǎo)數(shù)為f′（2x）×（2x）′=2f′（2x）；
②先將h（x）進(jìn)行化簡(jiǎn)，h（x）=cos⁴x-sin⁴x=（cos²x-sin²x）（cos²x+sin²x）=cos²x-sin²x=cos2x，再由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式進(jìn)行求導(dǎo)，再將x=

π

12

代入求解即可；
③中可將（x-1）（x-2）…（x-2009）看作一個(gè)整體，利用記得求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，再代入x=2010即可
④中f（x）為三次函數(shù)，“f（x）有極值點(diǎn)”的充要條件是導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，考慮其△即可．

解答：解：①中f（2x）為復(fù)合函數(shù)，故其導(dǎo)數(shù)為f′（2x）×（2x）′=2f′（2x），①為假命題；
②h（x）=cos⁴x-sin⁴x=（cos²x-sin²x）（cos²x+sin²x）=cos²x-sin²x=cos2x，
h′（x）=-2sin2x，所以h′(

π

12

)=-2sin

π

6

=-1，②為假命題
③g（x）=[（x-1）（x-2）…（x-2009）]（x-2010），
∴g′（x）=[（x-1）（x-2）…（x-2009）]′（x-2010）+[（x-1）（x-2）…（x-2009）]（x-2010）′
=[（x-1）（x-2）…（x-2009）]′（x-2010）+（x-1）（x-2）…（x-2009）
∴g′（2010）=（2010-1）（2010-2）…（2010-2009）=2009!，故③為真命題；
④f′（x）=3ax²+2bx+c，f（x）有極值點(diǎn)?f′（x）=0有兩個(gè)不等實(shí)根?△=4b²-12ac＞0，故命題④為假命題．
故答案為：③

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、函數(shù)的極值問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，難度較大．