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          精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          
			
          
				
          已知曲線C：y=
          1
          		x
          的一條切線l與兩坐標軸交于A，B兩點，則線段AB長度的最小值為
           
          ．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：求出函數的定義域，設出切點，求出切點處的導數，由點斜式得到切線方程，求出切線在x軸和y軸上的截距，得到AB的長度，由基本不等式求得線段AB長度的最小值．
          解答：解：函數y=
          1
          		x
          的定義域為（0，+∞），
          設(x0，
          1
          		x0
          )           （x0＞0）為曲線C：y=
          1
          		x
          上的任意一點，
          ∵y′|x=x0=-
          1
          2
          		x03
          ，
          ∴曲線C在(x0，
          1
          		x0
          )          處的切線方程為y-
          1
          		x0
          =-
          1
          2
          		x03
          (x-x0)          ．
          取y=0，得x=3x0，
          取x=0，得y=
          3
          2
          		x0
          ．
          ∴|AB|=
          		9x02+
          9
          4x0
          =
          		9x02+
          9
          8x0
          +
          9
          8x0
          ≥
          		3
          39x02•
          9
          8x0
          •
          9
          8x0
          =
          		3×
          9
          4
          =
          3
          		3
          2
          ．
          故答案為：
          3
          		3
          2
          ．
          點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用基本不等式求函數最值，是中檔題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          精英家教網如圖，已知曲線C：y=
          1
          x
          ，Cn：y=
          1
          x+2-n
          (n∈N*)          ．從C上的點Qn（xn，yn）作x軸的垂線，交Cn于點Pn，再從Pn作y軸的垂線，交C于點Qn+1（xn+1，yn+1）．設x1=1，an=xn+1-xn，bn=yn-yn+1．
          （I）求a1，a2，a3的值；
          （II）求數列{an}的通項公式；
          （III）設△PiQiQi+1（i∈N*）和面積為Si，記f(n)=
          n
          i=1
          Si          ，求證f(n)＜
          1
          6
          .
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          加試題：已知曲線C：y=
          1
          x
          (x＞0)          ，過P1（1，0）作y軸的平行線交曲線C于Q1，過Q1作曲線C的切線與x軸交于P2，過P2作與y軸平行的直線交曲線C于Q2，照此下去，得到點列P1，P2，…，和Q1，Q2，…，設|
          PnQn
          |=an          ，
          		2
          |
          QnQn+1
          |=bn(n∈N*)          ．
          （1）求數列{an}的通項公式；
          （2）求證：b1+b2+…+bn＞2n-2-n；
          （3）求證：曲線C與它在點Qn處的切線，以及直線Pn+1Qn+1所圍成的平面圖形的面積與正整數n的值無關．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          如圖，已知曲線C：y=
          1
          x
          在點P（1，1）處的切線與x軸交于點Q1，過點Q1作x軸的垂線交曲線C于點P1，曲線C在點P1處的切線與x軸交于點Q2，過點Q2作x軸的垂線交曲線C于點P2，…，依次得到一系列點P1、P2、…、Pn，設點Pn的坐標為（xn，yn）（n∈N*）．
          （Ⅰ）求數列{xn}的通項公式；
          （Ⅱ）求三角形OPnPn+1的面積S△OPnPn+1
          （Ⅲ）設直線OPn的斜率為kn，求數列{nkn}的前n項和Sn，并證明Sn＜
          4
          9
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2006•南京二模）如圖，已知曲線C：y=
          1
          x
          ，Cn：y=
          1
          x+2-n
          (n∈N*)          ．從C上的點Qn（xn，yn）作x軸的垂線，交Cn于點Pn，再從點Pn作y軸的垂線，交C于點Qn+1（xn+1，yn+1），設x1=1，an=xn+1-xn，bn=yn-yn+1．
          （Ⅰ）求Q1，Q2的坐標；
          （Ⅱ）求數列{an}的通項公式；
          （Ⅲ）記數列{an•bn}的前n項和為Sn，求證：Sn＜
          1
          3
          ．
          

			
          

			
          
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