Question

設數列{a_n}前n的項和為 S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N*）．其中m為常數，m≠-3且m≠0
（1）求證：{a_n}是等比數列；
（2）若數列{a_n}的公比滿足q=f（m）且b1=a1，bn=

3

2

f(bn-1)(n∈N*，n≥2)，求證{

1

bn

}為等差數列，并求b_n．

Answer 1

（1）由（3-m）S_n+2ma_n=m+3，得（3-m）S_n+1+2ma_n+1=m+3，
兩式相減，得（3+m）a_n+1=2ma_n，（m≠-3）
∴

an+1

an

=

2m

m+3

，
∴{a_n}是等比數列．

(2)由b1=a1=1，q=f(m)= 2m m+3 ，n∈N且n≥2時， bn= 3 2 f(bn-1)= 3 2 • 2bn-1 bn-1+3 ，  得 bnbn-1+3bn=3bn-1? 1 bn - 1 bn-1 = 1 3 . ∴{ 1 bn }是1為首項 1 3 為公差的等差數列， ∴ 1 bn =1+ n-1 3 = n+2 3 ， 故有bn= 3 n+2 .