Question

二次函數(shù)f（x）的圖象頂點(diǎn)為A（1，16），且圖象在x軸上截得線段長為8．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）令g（x）=（2-2a）x-f（x）；
①若函數(shù)g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
②求函數(shù)g（x）在x∈[0，2]的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)f（x）=a（x-1）2+16=ax2-2ax+a+16，圖象在x軸上截得線段長為8，利用弦長公式與韋達(dá)定理可求得a的值，從而可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求得g（x）的表達(dá)式，利用g（x）在[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）由條件設(shè)二次函數(shù)f（x）=a（x-1）²+16=ax²-2ax+a+16，
設(shè)f（x）=0的兩根為：x₁，x₂，令x₁＜x₂，
∵圖象在x軸上截得線段長為8，由韋達(dá)定理得：
（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₂x₁=（-2）²-4×a+16 a=64
解得a=-1，
∴函數(shù)的解析式為f（x）=-x²+2x+15．
（2）①∵f（x）=-x²+2x+15，
∴g（x）=（2-2a）x-f（x）=x²-2ax-15，
而g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，
∴對稱軸x=a在[0，2]的左側(cè)，
∴a≤0．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≤0}．
②g（x）=x²-2ax-15，x∈[0，2]，
對稱軸x=a，
當(dāng)a＞2時，g（x）_min=g（2）=4-4a-15=-4a-11，
當(dāng)a＜0時，g（x）_min=g（0）=-15，
當(dāng)0≤a≤2時，g（x）_min=g（a）=a²-2a²-15=-a²-15．

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，著重考查二次函數(shù)解析式的設(shè)法與求解，突出弦長公式與韋達(dá)定理的應(yīng)用，注重單調(diào)性的考查，屬于中檔題．