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        1. 已知平面上的動點P(x,y)及兩定點A(-2,0),B(2,0),直線PA,PB的斜率分別是 k1,k2k1k2=-
          1
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          (1)求動點P的軌跡C的方程;
          (2)設(shè)直線l:y=kx+m與曲線C交于不同的兩點M,N.
          ①若OM⊥ON(O為坐標原點),證明點O到直線l的距離為定值,并求出這個定值
          ②若直線BM,BN的斜率都存在并滿足kBMkBN=-
          1
          4
          ,證明直線l過定點,并求出這個定點.
          (1)由題意得
          y
          x+2
          y
          x-2
          =-
          1
          4
          ,(x≠±2),即x2+4y2=4(x≠±2).
          ∴動點P的軌跡C的方程是
          x2
          4
          +y2=1(x≠±2)

          (2)設(shè)點M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立
          y=kx+m
          x2+4y2=4
          ,化為(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
          ∴△=64k2m2-16(m2-1)(1+4k2)=16(1+4k2-m2)>0.
          x1+x2=-
          8km
          1+4k2
          ,x1x2=
          4m2-4
          1+4k2

          ∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,
          ①若OM⊥ON,則x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,
          (1+k2)(4m2-4)
          1+4k2
          -
          8k2m2
          1+4k2
          +m2=0
          ,化為m2=
          4
          5
          (1+k2)
          ,此時點O到直線l的距離d=
          |m|
          1+k2
          =
          2
          5
          5

          ②∵kBM•kBN=-
          1
          4
          ,∴
          y1
          x1-2
          y1
          x1+2
          =-
          1
          4
          ,
          ∴x1x2-2(x1+x2)+4+4y1y2=0,
          x1x2-2(x1+x2)+4+4k2x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0,
          代入化為4m2-4-
          8km(4km-2)
          1+4k2
          +4m2+4=0
          ,化簡得m(m+2k)=0,解得m=0或m=-2k.
          當m=0時,直線l恒過原點;
          當m=-2k時,直線l恒過點(2,0),此時直線l與曲線C最多有一個公共點,不符合題意,
          綜上可知:直線l恒過定點(0,0).
          練習(xí)冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知平面上的動點P到定點F(a,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大a(a>0),則動點P的軌跡是( 。
          A、拋物線B、射線C、拋物線或射線D、橢圓

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知平面上的動點P(x,y)及兩定點A(-2,0),B(2,0),直線PA,PB的斜率分別是k1,k2,且k1•k2=-
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          (1)求動點P的軌跡C的方程;
          (2)已知直線l:y=kx+m與曲線C交于M,N兩點,且直線BM、BN的斜率都存在,并滿足kBM•kBN=-
          1
          4
          ,求證:直線l過原點.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知平面上的動點P(x,y)及兩定點A(-2,0),B(2,0),直線PA,PB的斜率分別是 k1,k2k1k2=-
          1
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          (1)求動點P的軌跡C的方程;
          (2)設(shè)直線l:y=kx+m與曲線C交于不同的兩點M,N.
          ①若OM⊥ON(O為坐標原點),證明點O到直線l的距離為定值,并求出這個定值
          ②若直線BM,BN的斜率都存在并滿足kBMkBN=-
          1
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          ,證明直線l過定點,并求出這個定點.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年江西省高三下學(xué)期第一次月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題

          已知平面上的動點P(x,y)及兩定點A(-2,0),B(2,0),直線PA,PB的斜率分別是k1k2,且k1·k2=-.

           (1)求動點P的軌跡C的方程;

          (2)已知直線lykxm與曲線C交于MN兩點,且直線BM、BN的斜率都存在,并滿足kBM·kBN=-,求證:直線l過原點.

           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年黑龍江省四校高考數(shù)學(xué)二模試卷(文科)(解析版) 題型:選擇題

          已知平面上的動點P到定點F(a,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大a(a>0),則動點P的軌跡是( )
          A.拋物線
          B.射線
          C.拋物線或射線
          D.橢圓

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          同步練習(xí)冊答案