Question

已知平面向量

a

=(sin(π-x))，

b

=(

3

，cosx)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

．
（1）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)g(x)=f(x-

π

6

)+1，求直線y=2與y=g（x）在閉區(qū)間[0，π]上的圖象的所有交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間要先確定函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)解析式再求單調(diào)區(qū)間．
（2）由（1）中函數(shù)f（x）的解析式，不難給出函數(shù)g（x）的解析式，而兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，即是求由兩個(gè)解析式聯(lián)立的方程組．

解答：解：（1）函數(shù)f(x)=

a

•

b

=

3

sin(π-x)+cosX=2sin(x+

π

6

)
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ+

π

3

，2kπ+

4π

3

]  (k∈Z)
（2）g（x）=f（x-

π

6

）+1=2sinx+1
解g（x）=2，即sinx=

1

2

，x∈[0，π]得：
x=

π

6

或x=

5π

6

所以交點(diǎn)坐標(biāo)為：(

π

6

，2)，(

5π

6

，2)

點(diǎn)評：本題主要的考查點(diǎn)是正弦函數(shù)的單調(diào)性，解題的切入點(diǎn)是根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算給出函數(shù)f（x）的解析式，而（2）中求函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)，則可轉(zhuǎn)化為解方程的問題進(jìn)行求解．