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        1. 定義向量=(a,b)的“相伴函數(shù)”為f(x)=asinx+bcosx,函數(shù)f(x)=asinx+bcosx的“相伴向量”為=(a,b)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S.
          (1)設(shè)g(x)=3sin(x+)+4sinx,求證:g(x)∈S;
          (2)已知h(x)=cos(x+α)+2cosx,且h(x)∈S,求其“相伴向量”的模;
          (3)已知M(a,b)(b≠0)為圓C:(x-2)2+y2=1上一點(diǎn),向量的“相伴函數(shù)”f(x)在x=x處取得最大值.當(dāng)點(diǎn)M在圓C上運(yùn)動時,求tan2x的取值范圍.
          【答案】分析:(1)先利用誘導(dǎo)公式對其化簡,再結(jié)合定義即可得到證明;
          (2)先根據(jù)定義求出其相伴向量,再代入模長計算公式即可;
          (3)先根據(jù)定義得到函數(shù)f(x)取得最大值時對應(yīng)的自變量x;再結(jié)合幾何意義求出的范圍,最后利用二倍角的正切公式即可得到結(jié)論.
          解答:解:(1)g(x)=3sin(x+)+4sinx=4sinx+3cosx,
          其‘相伴向量’=(4,3),g(x)∈S.
          (2)h(x)=cos(x+α)+2cosx
          =(cosxcosα-sinxsinα)+2cosx
          =-sinαsinx+(cosα+2)cosx
          ∴函數(shù)h(x)的‘相伴向量’=(-sinα,cosα+2).
          則||==
          (3)的‘相伴函數(shù)’f(x)=asinx+bcosx=sin(x+φ),
          其中cosφ=,sinφ=
          當(dāng)x+φ=2kπ+,k∈Z時,f(x)取到最大值,故x=2kπ+-φ,k∈Z.
          ∴tanx=tan(2kπ+-φ)=cotφ=,
          tan2x===
          為直線OM的斜率,由幾何意義知:∈[-,0)∪(0,].
          令m=,則tan2x=,m∈[-,0)∪(0,}.
          當(dāng)-≤m<0時,函數(shù)tan2x=單調(diào)遞減,∴0<tan2x;
          當(dāng)0<m≤時,函數(shù)tan2x=單調(diào)遞減,∴-≤tan2x<0.
          綜上所述,tan2x∈[-,0)∪(0,].
          點(diǎn)評:本體主要在新定義下考查平面向量的基本運(yùn)算性質(zhì)以及三角函數(shù)的有關(guān)知識.是對基礎(chǔ)知識的綜合考查,需要有比較扎實(shí)的基本功.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          給出下列四個命題:
          ①“向量
          a
          ,
          b
          的夾角為銳角”的充要條件是“
          a
          b
          >0”;
          ②如果f(x)=lgx,則對任意的x1、x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有f(
          x1+x2
          2
          )>
          f(x1)+f(x2)
          2
          ;
          ③設(shè)f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間[a,b]上的兩個函數(shù),若對任意x∈[a,b],都有|f(x)-g(x)|≤1成立,則稱f(x)和g(x)在[a,b]上是“密切函數(shù)”,區(qū)間[a,b]稱為“密切區(qū)間”.若f(x)=x2-3x+4與g(x)=2x-3在[a,b]上是“密切函數(shù)”,則其“密切區(qū)間”可以是[2,3];
          ④記函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)為y=f-1(x),要得到y(tǒng)=f-1(1-x)的圖象,可以先將y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x做對稱變換,再將所得的圖象關(guān)于y軸做對稱變換,再將所得的圖象沿x軸向左平移1個單位,即得到y(tǒng)=f-1(1-x)的圖象.
          其中真命題的序號是
           
          .(請寫出所有真命題的序號)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          定義向量的運(yùn)算
          a
          ?
          b
          =|
          a
          |•|
          b
          |•sin<
          a
          ,
          b
          >(其中<
          a
          ,
          b
          >為向量
          a
          b
          的夾角),設(shè)
          OA
          OB
          為非零向量,則下列說法正確的是
          ①②④
          ①②④

          OA
          ?
          OB
          是非負(fù)實(shí)數(shù);
          ②若向量
          OA
          ,
          OB
          共線,則有
          OA
          ?
          OB
          =0;
          ③若向量
          OA
          OB
          垂直,則有
          OA
          ?
          OB
          =0;
          ④若O,A,B能構(gòu)成三角形,則三角形面積SOAB=
          1
          2
          OA
          ?
          OB

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          定義向量⊕運(yùn)算:
          a
          b
          =
          c
          ,若
          a
          =(a1,a2),
          b
          =(b1,b2),則向量
          c
          =(a1b1,a2b2).已知
          m
          =(
          1
          2
          ,2
          ),
          n
          =(
          π
          6
          ,0
          ),且點(diǎn)P(x,y)在函數(shù)y=cos2x的圖象上運(yùn)動,點(diǎn)Q在函數(shù)y=f(x)的圖象上運(yùn)動,且點(diǎn)P和點(diǎn)Q滿足:
          OQ
          =
          m
          OP
          +
          n
          (其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則函數(shù)y=f(x)的最大值A(chǔ)及最小正周期T分別為( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          定義:對于映射f:A→B,如果A中的不同元素有不同的象,且B中的每一個元素都有原象,則稱f:A→B為一一映射.如果存在對應(yīng)關(guān)系φ,使A到B成為一一映射,則稱A和B具有相同的勢.給出下列命題:
          ①A={奇數(shù)},B={偶數(shù)},則A和B 具有相同的勢;
          ②A是直角坐標(biāo)系平面內(nèi)所有點(diǎn)形成的集合,B是復(fù)數(shù)集,則A和B 不具有相同的勢;
          ③若A={
          a
          b
          },其中
          a
          ,
          b
          是不共線向量,B={
          c
          |
          c
          a
          ,
          b
          共面的任意向量},則A和B不可能具有相同的勢;
          ④若區(qū)間A=(-1,1),B=(-∞,+∞),則A和B具有相同的勢.
          其中真命題為
          ①③④
          ①③④

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•上海)定義向量
          OM
          =(a,b)的“相伴函數(shù)”為f(x)=asinx+bcosx,函數(shù)f(x)=asinx+bcosx的“相伴向量”為
          OM
          =(a,b)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S.
          (1)設(shè)g(x)=3sin(x+
          π
          2
          )+4sinx,求證:g(x)∈S;
          (2)已知h(x)=cos(x+α)+2cosx,且h(x)∈S,求其“相伴向量”的模;
          (3)已知M(a,b)(b≠0)為圓C:(x-2)2+y2=1上一點(diǎn),向量
          OM
          的“相伴函數(shù)”f(x)在x=x0處取得最大值.當(dāng)點(diǎn)M在圓C上運(yùn)動時,求tan2x0的取值范圍.

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          同步練習(xí)冊答案