Question

定義向量=（a，b）的“相伴函數(shù)”為f（x）=asinx+bcosx，函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”為=（a，b）（其中O為坐標原點）．記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S．
（1）設g（x）=3sin（x+）+4sinx，求證：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）為圓C：（x-2）²+y²=1上一點，向量的“相伴函數(shù)”f（x）在x=x處取得最大值．當點M在圓C上運動時，求tan2x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用誘導公式對其化簡，再結(jié)合定義即可得到證明；
（2）先根據(jù)定義求出其相伴向量，再代入模長計算公式即可；
（3）先根據(jù)定義得到函數(shù)f（x）取得最大值時對應的自變量x；再結(jié)合幾何意義求出的范圍，最后利用二倍角的正切公式即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）g（x）=3sin（x+）+4sinx=4sinx+3cosx，
其‘相伴向量’=（4，3），g（x）∈S．
（2）h（x）=cos（x+α）+2cosx
=（cosxcosα-sinxsinα）+2cosx
=-sinαsinx+（cosα+2）cosx
∴函數(shù)h（x）的‘相伴向量’=（-sinα，cosα+2）．
則||==．
（3）的‘相伴函數(shù)’f（x）=asinx+bcosx=sin（x+φ），
其中cosφ=，sinφ=．
當x+φ=2kπ+，k∈Z時，f（x）取到最大值，故x=2kπ+-φ，k∈Z．
∴tanx=tan（2kπ+-φ）=cotφ=，
tan2x===．
為直線OM的斜率，由幾何意義知：∈[-，0）∪（0，]．
令m=，則tan2x=，m∈[-，0）∪（0，}．
當-≤m＜0時，函數(shù)tan2x=單調(diào)遞減，∴0＜tan2x≤；
當0＜m≤時，函數(shù)tan2x=單調(diào)遞減，∴-≤tan2x＜0．
綜上所述，tan2x∈[-，0）∪（0，]．
點評：本體主要在新定義下考查平面向量的基本運算性質(zhì)以及三角函數(shù)的有關(guān)知識．是對基礎知識的綜合考查，需要有比較扎實的基本功．