Question

若函數(shù)f(x)=

ax2+1

x+b

，在定義域上是奇函數(shù)且f（1）=3，
（1）求a，b的值，寫(xiě)出f（x）的表達(dá)式；
（2）判斷f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f(x)=

ax2+1

x+b

，在定義域上是奇函數(shù)且f（1）=3，可得f（-1）=-3，由此構(gòu)造方程組可得a，b的值，進(jìn)而寫(xiě)出f（x）的表達(dá)式；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷出原函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：（1）∵f(x)=

ax2+1

x+b

，在定義域上是奇函數(shù)且f（1）=3，
∴f（-1）=-3
∴

a+1 1+b =3 a+1 -1+b =-3

解得a=2，b=0
∴f(x)=

2x2+1

x

（2）函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，理由如下：
∵f′(x)=

2x2-1

x2

=2-

1

x2

∵x∈[1，+∞）時(shí)，

1

x2

＜1，f′（x）＞0
故函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．