Question

線段AB是圓C₁：x²+y²+2x-6y=0的一條直徑，離心率為的雙曲線C₂以A，B為焦點．若P是圓C₁與雙曲線C₂的一個公共點，則|PA|+|PB|=

1. A.
   
2. B.
   4
3. C.
   4
4. D.
   6

Answer 1

D
分析：由題設知雙曲線C₂的焦距2c=|AB|=2，雙曲線的實半軸a=，由P是圓C₁與雙曲線C₂的公共點，知||PA|-|PB||=2，|PA|²+|PB|²=40，由此能求出|PA|+|PB|．
解答：∵圓C₁：x²+y²+2x-6y=0的半徑r==，
線段AB是圓C₁：x²+y²+2x-6y=0的一條直徑，
離心率為的雙曲線C₂以A，B為焦點，
∴雙曲線C₂的焦距2c=|AB|=2，
∵P是圓C₁與雙曲線C₂的一個公共點，
∴||PA|-|PB||=2a，|PA|²+|PB|²=40，
∴|PA|²+|PB|²-2|PA||PB|=4a²，
∵c=，e==，
∴a=，
∴2|PA||PB|=32，
∴∴|PA|²+|PB|²+2|PA||PB|=（|PA|+|PB|）²=72，
∴|PA|+|PB|=6．
故選D．
點評：本題考查|PA|+|PB|的值的求法，具體涉及到圓的簡單性質，雙曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．