Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．

（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）若，求的前項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）利用，化簡(jiǎn)得，故是等比數(shù)列；（2）由于，相等于一個(gè)等差數(shù)列乘以一個(gè)等比數(shù)列，所以考慮用錯(cuò)位相減求和法求前項(xiàng)和為.

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)， ，解得；．．．．．．．．．．．．．．．1分

當(dāng)時(shí)， ，兩式相減得，．．．．．．．．．．．．．．．．3分

化簡(jiǎn)得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為-1的等比數(shù)列．．．．．．．．．．5分

（2）由（1）可得，所以，下提供三種求和方法供參考：．．．．．．．6分

【錯(cuò)位相減法】，

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

兩式相減得．．．．．．．．．．．．．．．．9分

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

所以數(shù)列的前項(xiàng)和．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

【并項(xiàng)求和法】

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， 為偶數(shù)， ；．．．．．．．．．．．．11分

綜上，數(shù)列的前項(xiàng)和．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

【裂項(xiàng)相消法】

因?yàn)?/span>．．．．．．．．．．．．．．9分

所以

，

所以數(shù)列的前項(xiàng)和．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分