Question

【題目】已知函數(shù)，

(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性

(2)當(dāng)時，，對任意，都有恒成立，求實數(shù)b的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；(2)

【解析】

（1）先求得定義域及函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求得函數(shù)極值點.再由,可判斷導(dǎo)函數(shù)的符號,即可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（2）將代入,再代入可得解析式.由不等式恒成立,分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù).求其導(dǎo)函數(shù)可得.再構(gòu)造函數(shù),求得.可判斷出有唯一的零點,即在處取得最小值.進(jìn)而結(jié)合不等式即可求得b的取值范圍.

（1）定義域為

由題知

則,

令解得

當(dāng),,

當(dāng),﹔當(dāng),；

函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減

（2）將代入,再代入中可得

由恒成立可得恒成立,

即恒成立,

設(shè),則,

,,

當(dāng)時,,

在上單調(diào)遞增,且有,,

函數(shù)有唯一的零點,且 ,

當(dāng),,,單調(diào)遞減,

當(dāng),,,單調(diào)遞增,

是在定義域內(nèi)的最小值

,

得,,（*）

令,,

方程（*）等價為,,單調(diào)遞增,

等價為,,

,,易知單調(diào)遞增,,

是的唯一零點,

,,

的最小值,

恒成立

的范圍是