Question

近日，國(guó)家經(jīng)貿(mào)委發(fā)出了關(guān)于深入開展增產(chǎn)節(jié)約運(yùn)動(dòng)，大力增產(chǎn)市場(chǎng)適銷對(duì)路產(chǎn)品的通知，并發(fā)布了當(dāng)前國(guó)內(nèi)市場(chǎng)185種適銷工業(yè)品和42種滯銷產(chǎn)品的參考目錄．為此，一公司舉行某產(chǎn)品的促銷活動(dòng)，經(jīng)測(cè)算該產(chǎn)品的銷售量P萬(wàn)件（生產(chǎn)量與銷售量相等）與促銷費(fèi)用x萬(wàn)元滿足(其中，a為正常數(shù))．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本10+2P萬(wàn)元(不含促銷費(fèi)用)，產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為元／件．
(1)將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為促銷費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù)；
(2)促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．

Answer 1

（1），（）.
（2）當(dāng)時(shí),促銷費(fèi)用投入1萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大;
當(dāng)時(shí),促銷費(fèi)用投入萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大 .

解析試題分析：（1）由題意得到， 將代入化簡(jiǎn)即得
，（）.
（2）將原函數(shù)變形，應(yīng)用基本不等式，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào).根據(jù)，討論，,的不同情況，確定最大利潤(rùn).
試題解析：（1）由題意知， ，  
將代入化簡(jiǎn)得：
，（），                               6分
（2），
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào).                       9分
當(dāng)時(shí),促銷費(fèi)用投入1萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大;
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,所以在時(shí),函數(shù)有最大值．促銷費(fèi)用投入萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大 .
綜上述,當(dāng)時(shí),促銷費(fèi)用投入1萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大;
當(dāng)時(shí),促銷費(fèi)用投入萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大 .                  12分
考點(diǎn)：函數(shù)的應(yīng)用問題，基本不等式.