Question

如圖（1）是一正方體的表面展開圖，MN和PB是兩條對角線，請在圖（2）的正方體中將MN和PB畫出來，并就這個正方體解決下面問題．
（1）求證：MN∥平面PBD；
（2）求證：AQ⊥平面PBD；
（3）求二面角P-DB-M的大小．

Answer 1

分析：（1）先將展開圖進行還原，欲證MN∥平面PBD，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證MN與平面PBD內一直線平行，根據(jù)四邊形NDBM為平行四邊形，則MN∥DB，而BD⊆平面PBD，MN?平面PBD，滿足定理所需條件；
（2）欲證AQ⊥面PDB，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AQ與面PDB內兩相交直線垂直，根據(jù)線面垂直的性質可知AQ⊥BD，同理可得AQ⊥PB，BD∩PD=B，滿足定理所需條件；
（3）分別取DB、MN中點E、F連接PE、EF、PF，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠PEF為二面角P-DB-M為平面角，在直角三角形EFP中求出此角即可．

解答：解：M、N、Q、B的位置如圖示．
（1）∵ND∥MB且ND=MB
∴四邊形NDBM為平行四邊形
∴MN∥DB（3分）
∴BD⊆平面PBD，MN?平面PBD
∴MN∥平面PBD（4分）
（2）∵QC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥QC（5分）
又∵BD⊥AC，
∴BD⊥平面AQC（6分）
∵AQ?面AQC
∴AQ⊥BD，同理可得AQ⊥PB，
∵BD∩PB=B
∴AQ⊥面PDB（8分）
（3）解：分別取DB、MN中點E、F連接PE、EF、PF（9分）
∵在正方體中，PB=PB
∴PE⊥DB（10分）
∵四邊形NDBM為矩形
∴EF⊥DB
∴∠PEF為二面角P-DB-M為平面角（11分）
∵EF⊥平面PMN
∴EF⊥PF
設正方體的棱長為a，則在直角三角形EFP中
∵EF=a，PF=

2

2

a
∴tan∠PEF=

PF

EF

=

2

2

∠PEF=arctan

2

2

（13分）

點評：本題主要考查直線與平面平行的判定，以及直線與平面垂直的判定和二面角的度量，二面角的求解在最近兩年高考中頻繁出現(xiàn)，值得重視．