Question

設(shè)f（x）=log 

1

2

1-ax

x-1

（a為常數(shù)）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）的單調(diào)性并證明；
（3）若對于區(qū)間[3，4]上的每一個x的值，f（x）＞（

1

2

）^x+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，f（x）為奇函數(shù)，故有 f（-x）=-f（x），即 log

1

2

1+ax

-x-1

=-log

1

2

1-ax

x-1

，化簡可得

1+ax

-x-1

=

x-1

1-ax

，由此解得a的值．
（2）由（1）可得f（x）=log 

1

2

x+1

x-1

，令 g（x）=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，由于

2

x-1

在 區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，可得函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)
單調(diào)遞減，從而得到函數(shù)f（x）=log 

1

2

x+1

x-1

在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
（3）令h（x）=f（x）-(

1

2

)x，則由（2）得h（x）在[3，4]上單調(diào)遞增，故g（x）的最小值為g（3），運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：（1）由題意可得，f（x）為奇函數(shù)，故有 f（-x）=-f（x），即 log

1

2

1+ax

-x-1

=-log

1

2

1-ax

x-1

，
即 log

1

2

1+ax

-x-1

=log

1

2

x-1

1-ax

，∴

1+ax

-x-1

=

x-1

1-ax

，解得a=±1．   …（3分）
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=1時不合條件，故a=-1． …（4分）
（2）由（1）可得f（x）=log 

1

2

 

x+1

x-1

，函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．…（10分）
證明：令g（x）=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，由于

2

x-1

在 區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
故函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，故函數(shù)f（x）=log 

1

2

x+1

x-1

在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
（3）令h（x）=f（x）-(

1

2

)x，則由（2）得h（x）在[3，4]上單調(diào)遞增，…（12分）
故g（x）的最小值為g（3）=-

9

8

． …（14分）
 m＜-

9

8

．…（16分）

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，汗水肚餓恒成立問題，求函數(shù)的值域，屬于中檔題．