Question

如圖△為直角三角形，，以為直徑的圓交于點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連交圓于點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：、、、四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）設(shè)，，求的長．

Answer 1

（1）（1）做出輔助線，首先證明兩個三角形全等，根據(jù)三角形三邊對應(yīng)相等，得到兩個三角形全等，得到對應(yīng)角相等，從而得到四邊形一對對角互補(bǔ)，即四點(diǎn)共圓．
（2）5

試題分析：（1）證明：連結(jié)OE，BE
∵AB為圓O直徑    ∴BE⊥AE
OB=OE      ∴∠BEO=∠OBE
Rt△BEC中    D為BC中點(diǎn)      ∴BD=DE   ∠BED=∠DBE
∠OED=∠BEO+∠BED=∠OBE+∠DBE=∠OBD=∠ABD=90°
∠OED+∠OBD=180°
∴O、B、D、E四點(diǎn)共圓               5分
（II）解：延長DO交圓于H， O、D分別為AB、AC中點(diǎn)
OD=AC=3      MH=AB=4    DM=1
由（I）OE⊥DE    E為圓上    ∴DE為圓O切線
DE²=DM·DH=1·（4+1）=5                 10分
點(diǎn)評：本題考查三角形全等，考查四點(diǎn)共圓，考查圓的切割線定理，是一個平面幾何的綜合題目，解題時注意分析要證明的結(jié)論與條件之間的關(guān)系