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          【題目】橢圓一個焦點為,離心率

          Ⅰ)求橢圓的方程式.

          Ⅱ)定點,為橢圓上的動點,求的最大值;并求出取最大值時點的坐標求.

          Ⅲ)定直線為橢圓上的動點,證明點的距離與到定直線的距離的比值為常數,并求出此常數值.

          【答案】(1)橢圓的方程為;(2)最大值為,此時點坐標為;(3)的距離與到定直線的距離之比為常數

          【解析】分析:(Ⅰ)由橢圓一個焦點為,可知橢圓的焦點在軸上,且。進而由離心率,可得。再由求得?傻脵E圓的方程為。(Ⅱ)要求的最大值,應設坐標,用兩點間的距離公式表示出來,然后求最值。

          點坐標為,則。進而可得,由橢圓的性質可得,由二次函數的性質可得當時,取得最大值.此時點坐標為。

          (Ⅲ)設,則,所以點到的距離為:,由橢圓的性質可得的范圍,所以 ?傻命c到直線的距離為,進而可得,所以的距離與到定直線的距離之比為常數。

          詳解:(Ⅰ)根據題意得,

          ,

          故橢圓的方程為

          (Ⅱ)設點坐標為,則

          所以

          所以,

          ,

          ∴當時,取得最大值

          最大值為,此時點坐標為

          (Ⅲ)設,則,

          所以

          所以點的距離為:,

          由橢圓的性質可得

          所以

          所以點到直線的距離為,

          所以

          的距離與到定直線的距離之比為常數

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